📚 𝗠𝗔𝗧𝗥𝗜𝗭 𝗗𝗘 𝗖𝗔𝗠𝗕𝗜𝗢 𝗗𝗘 𝗕𝗔𝗦𝗘 | 𝗘𝗝𝗘𝗠𝗣𝗟𝗢 𝗣𝗔𝗦𝗢 𝗔 𝗣𝗔𝗦𝗢

¿Qué ocurre cuando queremos expresar las coordenadas de un vector respecto de una base diferente?

En este vídeo aprenderemos a calcular una matriz de cambio de base mediante un ejemplo sencillo en ℝ³, desarrollando el procedimiento paso a paso y utilizando el método de Gauss.
El objetivo no es únicamente aprender un algoritmo, sino comprender qué representa la matriz de cambio de base, cómo se construye y por qué funciona.

📚 𝗤𝗨É 𝗔𝗣𝗥𝗘𝗡𝗗𝗘𝗥𝗘𝗠𝗢𝗦 𝗘𝗡 𝗘𝗦𝗧𝗘 𝗩Í𝗗𝗘𝗢

🔹 𝗟𝗮 𝗺𝗮𝘁𝗿𝗶𝘇 𝗱𝗲 𝗰𝗮𝗺𝗯𝗶𝗼 𝗱𝗲 𝗯𝗮𝘀𝗲

Interpretaremos el cambio de base mediante la aplicación identidad, cuya matriz asociada depende de las bases elegidas.

🔹 𝗖á𝗹𝗰𝘂𝗹𝗼 𝗱𝗲 𝗹𝗮 𝗺𝗮𝘁𝗿𝗶𝘇

Partiremos de la base canónica B₀ de ℝ³ y de una segunda base:

B = {(0,1,−1), (1,0,−1), (1,−1,1)}

Nuestro objetivo será calcular la matriz que transforma las coordenadas de un vector respecto de B₀ en sus coordenadas respecto de B.

🔹 𝗔𝗽𝗹𝗶𝗰𝗮𝗰𝗶ó𝗻 𝗮 𝘂𝗻 𝘃𝗲𝗰𝘁𝗼𝗿 𝗰𝗼𝗻𝗰𝗿𝗲𝘁𝗼

Una vez calculada la matriz, la utilizaremos para determinar las coordenadas del vector:

v = (2,1,−2)

respecto de la nueva base B.

De esta manera, comprobaremos cómo una matriz de cambio de base nos permite obtener directamente las coordenadas de cualquier vector sin necesidad de resolver un nuevo sistema de ecuaciones cada vez.