3 – Continuidad de funciones – Teoría y ejemplos

Continuidad de funciones de una variable real

La continuidad es uno de los conceptos fundamentales del Cálculo y del Análisis Matemático. Intuitivamente, una función es continua cuando pequeñas variaciones en la variable producen pequeñas variaciones en sus valores. Pero ¿cómo se traduce esta idea intuitiva en una definición matemática rigurosa?

En este curso estudiaremos la continuidad de funciones reales de una variable real, comenzando por su interpretación gráfica e intuitiva y llegando a su formulación precisa mediante la definición ε–δ.

Aprenderemos a estudiar la continuidad en un punto y en un conjunto, analizaremos las principales propiedades de las funciones continuas y veremos cómo se comporta la continuidad frente a las operaciones habituales y la composición de funciones. También estudiaremos algunos de los teoremas fundamentales sobre funciones continuas y aprenderemos a utilizarlos tanto en demostraciones como en la resolución de problemas.

A lo largo del curso combinaremos definiciones, interpretación geométrica, resultados teóricos, demostraciones y ejemplos, prestando especial atención a comprender por qué funcionan las herramientas que utilizamos.

El objetivo no es únicamente aprender a determinar si una función es continua, sino entender qué significa realmente la continuidad y por qué desempeña un papel central en el Cálculo y el Análisis Matemático.